Tesis-Universidad de La Laguna, 2006.

Texto.

En esta tesis se lleva a cabo un tratamiento numérico y teórico de diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Tras un primer capítulo carácter introductorio en el que se dan a conocer al lector los aspectos fundamentales que serán tratados en los capítulos siguientes, estudiamos en primer lugar los sistemas diferenciales con equilibrios semiestables que poseen una variedad centro unidimensional. De esta manera se analiza en el capítulo segundo de la memoria la estabilidad incondicional de los métodos y se prueba que en la práctica el método de Euler implícito es el único que posee tal propiedad. Para recuperar estabilidad para muchos métodos de tipo Runge-Kutta implícito, así como para métodos de Rosenbrock, se consideran en los capítulos tercero y cuarto integraciones sobre redes temporales para las que las razones entre tamaños de pasos consecutivos están acostadas por alguna constante mayor que uno. Así, en tales capítulos se demuestra que la A-estabilidad fuente de los métodos es una condición suficiente para alcanzar integraciones estables en entornos de los equilibrios semiestables. En añadidura, la experimentación numérica llevada a cabo refleja que la A-estabilidad fuerte de los Métodos Lineales Generales aplicados a problemas estrictamente disipativos en intervalos temporales semi-infinitos. Concretamente se obtienen resultados de contractividad y convergencia que generalizan resultados clásicos conocidos para la familia de métodos de tipo Runge-Kutta. Esta tesis concluye en el capítulo sexto, en el que se estudia la conservación de invariantes por medio de métodos Runge-Kutta explícitos. Considerando pares de métodos explícitos encajados se obtiene una estrategia de proyección de métodos de tipo Runge-Kutta que permite conservar invariantes conocidos para un sistema diferencial autónomo con un coste adicional bajo, de modo que la nueva técnica puede ser considerada en códigos adaptativos sin verse afectada la fiabilidad y precisión del método base.